Beberapa Cara Memilih Nilai Eksak Fungsi Trigonometri Sudut Istimewa $15^\Circ$ Dan $75^\Circ$
Thursday, January 4, 2018
Add Comment
Sumber gambar: Pak Sulaeman (http://menulislatex.blogspot.com)
Entah kenapa akhir-akhir ini begitu suka dengan Trigonometri, dan postingan kali inipun masih seputar trigonometri, agar tidak menciptakan sahabat-sahabat bosan mampir ke blog ini 😅.
Soal-soal berkaitan dengan Trigonometri, kebanyakan sudut yang dipakai merupakan sudut istimewa baik dalam satuan derajat, ataupun radian, Jika sudut yang dipakai ialah $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ atau $90^\circ$ aku percaya sahabat-sahabat dapat mengerjakannya dengan mudah, namun bagaimana jikalau ternyata sudut yang dipakai ialah $15^\circ$ atau $75^\circ$?, gak boleh pake kalkulator ya... 😁
Nah, goresan pena aku kali ini akan membahas hal tersebut, bagaimana cara memilih nilai eksak dari fungsi trigonometri sudut istimewa $15^\circ$ dan $75^\circ$. Saya akan mencoba menyajikan beberapa cara, jadi silakan sahabat-sahabat "rasakan" sendiri cara mana yang dirasa paling mudah, oke berikut ini beberapa cara memilih nilai eksak dari fungsi trigonometri sudut istimewa $15^\circ$ dan $75^\circ$:
Cara pertama yang akan kita coba ialah memakai rumus selisih dan jumlah sudut, rumus yang dimaksud ialah sebagai berikut:
$$\boxed{\begin{align*}\sin{(A-B)}&=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\\ \sin{(A+B)}&=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\\ \cos{(A-B)}&=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\\ \cos{(A+B)}&=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\\ \tan{(A-B)}&=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\\ \tan{(A+B)}&=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\end{align*}}$$
Menentukan nilai $\sin{15^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\sin{15^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus selisih sudut sinus :$$\boxed{\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sin{\left(45^\circ-30^\circ\right)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}-\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&= \frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\cos{15^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus selisih sudut cosinus: $$\boxed{\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\ &=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\sqrt{30^\circ}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\tan{15^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus selisih sudut tangen:
$$\boxed{\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}}$$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\tan{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\frac{\tan{45^\circ}-\tan{30^\circ}}{1+\tan{45^\circ}\tan{30^\circ}}\\&=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1.\frac{1}{3}\sqrt{3}}\\&=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}\\&=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\times \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\&=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Menentukan $\sin{75^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\sin{75^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus jumlah sudut. $$\boxed{\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{75^\circ}&=\sin{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan $\cos{75^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\cos{75^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus jumlah sudut cosinus.$$\boxed{\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Cara kedua yang akan kita coba ialah memakai rumus trigonometri setengah sudut, rumus yang dimaksud ialah sebagai berikut:
$$\boxed{\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}\\ \cos{\frac{1}{2}A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}}\\ \tan{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}}$$
Menentukan nilai $\sin{15^\circ}$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1+\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8+2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{1-\cos{30^\circ}}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Untuk sudut $75^\circ$ silahkan coba sendiri ya 😁
Bagaimana berdasarkan sahabat-sahabat kedua cara tersebut? gampang kan?
Mau cara yang lebih mudah?
ya, tentu saja ada (meskipun mudah/sulit itu relatif), jikalau sehabat-sahabat tidak mengetahui (lupa) dengan "rumus jumlah sudut" dan "rumus setengah sudut", alternatif lain dalam memilih nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ kita dapat menentukannya secara geometri, penasaran? eksklusif saja klik link ini
Cara 1: Menggunakan Rumus Selisih dan Jumlah Sudut
$$\boxed{\begin{align*}\sin{(A-B)}&=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\\ \sin{(A+B)}&=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\\ \cos{(A-B)}&=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\\ \cos{(A+B)}&=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\\ \tan{(A-B)}&=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\\ \tan{(A+B)}&=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\end{align*}}$$
Rumus Trigonometri lengkap lihat klik link ini
Untuk memilih nilai eksak dari $\sin{15^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus selisih sudut sinus :$$\boxed{\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sin{\left(45^\circ-30^\circ\right)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}-\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&= \frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\cos{15^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus selisih sudut cosinus: $$\boxed{\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\ &=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\sqrt{30^\circ}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\tan{15^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus selisih sudut tangen:
$$\boxed{\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}}$$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\tan{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\frac{\tan{45^\circ}-\tan{30^\circ}}{1+\tan{45^\circ}\tan{30^\circ}}\\&=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1.\frac{1}{3}\sqrt{3}}\\&=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}\\&=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\times \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\&=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Menentukan $\sin{75^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\sin{75^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus jumlah sudut. $$\boxed{\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{75^\circ}&=\sin{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan $\cos{75^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\cos{75^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus jumlah sudut cosinus.$$\boxed{\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan $\tan{75^\circ}$
Untuk memilih nilai eksak dari $\tan{75^\circ}$, yang akan kita gunakan ialah rumus jumlah sudut tangen:$$\boxed{\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}}$$
$\begin{align*}\tan{75^\circ}&=\tan{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\frac{\tan{45^\circ}+\tan{30^\circ}}{1-\tan{45^\circ}\tan{30^\circ}}\\&=\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}\\&=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\&=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\times\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\&=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}\\&=2+\sqrt{3}\end{align*}$ Cara 2: Menggunakan Rumus Trigonometri Setengah Sudut
$$\boxed{\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}\\ \cos{\frac{1}{2}A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}}\\ \tan{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}}$$
Menentukan nilai $\sin{15^\circ}$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1+\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8+2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{1-\cos{30^\circ}}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Untuk sudut $75^\circ$ silahkan coba sendiri ya 😁
Bagaimana berdasarkan sahabat-sahabat kedua cara tersebut? gampang kan?
Mau cara yang lebih mudah?
ya, tentu saja ada (meskipun mudah/sulit itu relatif), jikalau sehabat-sahabat tidak mengetahui (lupa) dengan "rumus jumlah sudut" dan "rumus setengah sudut", alternatif lain dalam memilih nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ kita dapat menentukannya secara geometri, penasaran? eksklusif saja klik link ini
Kesimpulan
$\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$ | ||
$\cos{\alpha}$ | $\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$ | |
$2-\sqrt{3}$ |
0 Response to "Beberapa Cara Memilih Nilai Eksak Fungsi Trigonometri Sudut Istimewa $15^\Circ$ Dan $75^\Circ$"
Post a Comment
Blog ini merupakan Blog Dofollow, karena beberapa alasan tertentu, sobat bisa mencari backlink di blog ini dengan syarat :
1. Tidak mengandung SARA
2. Komentar SPAM dan JUNK akan dihapus
3. Tidak diperbolehkan menyertakan link aktif
4. Berkomentar dengan format (Name/URL)
NB: Jika ingin menuliskan kode pada komentar harap gunakan Tool untuk mengkonversi kode tersebut agar kode bisa muncul dan jelas atau gunakan tool dibawah "Konversi Kode di Sini!".
Klik subscribe by email agar Anda segera tahu balasan komentar Anda