Lingkaran : Memilih Persamaan Lingkaran, Titik Sentra Bulat Dan Jari-Jari Bulat Dilengkapi Pola Soal Dan Pembahasan

Oke sob, pada kesempatan kali SoalTerbaru.com akan membahas bahan perihal lingkaran. Untuk bahan kurikulum 2013 revisi 2016, bahan perihal bundar ini dipelajari di kelas XI pada matematika peminatan. Terlepas dari kurikulum apapun yang di gunakan di sekolah kalian, bahan perihal bundar toh pada dasarnya sama saja :). 
Pada goresan pena ini saya akan mencoba membahas bahan bundar secara lengkap, berikut teladan soal dan pembahasannya, jadi kalian tiba ke blog yang sempurna :) 

Menentukan Persamaan Lingkaran

---

Mari kita pahami dulu definisi dari bundar sebagai berikut:
Lingkaran  adalah kawasan kedudukan titik-titik pada bidang yang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap sentra bundar disebut sebagai jari-jari lingkaran.

Sekarang, perhatikan gambar berikut:

Misal kita mempunyai sebuah bundar dengan sentra $P(a, b)$ dan jari-jari bundar yaitu $r$ (seperti pada gambar), menurut definisi bahwa jarak setiap titik pada sisi atau keliling bundar terhadap sentra harus sama, dengan menggunkan rumus jarak dua buah titik, maka kita peroleh:

$$\begin{align*}PA&=r\\ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}&=r\\(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\end{align*}$$

Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ kita sebut saja sebagai bentuk baku lingkaran.

Bentuk baku tersebut yang akan kita gunakan untuk memilih persamaan lingkaran. Jadi, untuk memilih persamaan bundar ada dua unsur yang wajib kita cari, yaitu titik sentra bundar dan jari-jari lingkaran, selanjutnya kita substitusikan terhadap bentuk baku lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa teladan berikut:

Contoh 1:

Tentukan persamaan bundar yang berpusat di $(3, 4)$ dan berjari-jari $5$.

Jawab:
Untuk soal jenis ini, titik sentra dan jari-jari bundar sudah diketahui, jadi untuk memilih persamaan lingkaran, kita hanya perlu mensubstitusikan titik sentra dan jari-jari bundar pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=5^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+64&=5^2\\x^2+y^2-6x-8y+73&=25\\x^2+y^2-6x-8y+48&=0\end{align*}$

 Contoh 2:
Tentukan persamaan bundar yang berpusat di $(2, 3)$ dan melalui titik $(5, -1)$.

Jawab:
Beda dengan teladan 1, pada teladan 2 ini titik jari-jari bundar belum diketahui, jadi untuk memilih persamaan bundar kita harus mencari jari-jari bundar terlebih dahulu:

menentukan jari-jari lingkaran:
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-2)^2+(y-3)^2&=r^2\end{align*}$

Karena bundar melalui $(5, -1)$, maka substitusikan $x=5$ dan $y=-1$ pada persamaan di atas:
$\begin{align*}(5-2)^2+(-1-3)^2&=r^2\\3^2+(-4)^2&=r^2\\9+16&=r^2\\25&=r^2\\r&=\sqrt{25}\\r&=5\end{align*}$

Setelah kita memperoleh jari-jari dan sentra lingkaran, selanjutnya substitusikan pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$\begin{align*}(x-2)^2+(y-3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2-6y+9&=25\\x^2+y^2-4x-6y+13&=25\\x^2+y^2-4x-6y-12&=0\end{align*}$

 Contoh 3:

Jika diketahui titik $A(8, 4)$ dan $B(2, 4)$, Tentukan persamaan bundar yang melalui titik $A$ dan $B$ dan berdiameter $AB$.

Jawab:
Terlebih dahulu kita tentukan titik sentra dan jari-jari lingkaran:

Titik Pusat:

Pusat $=\left(\frac{8+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(5,4)$

Jari-jari Lingkaran:
Jari-jari bundar merupakan jarak setiap titik pada sisi bundar terhadap pusat, dalam pembahasan ini saya akan memakai jarak titik $A(8,4)$ terhadap sentra $P(5,4)$.
$\begin{align*}r=AP&=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}\\&=\sqrt{4^2}\\&=4\end{align*}$

Selanjutnya, kita tinggal substitusikan jari-jari dan titik sentra pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-5)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-10x+25+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-10x-8y+25&=0\end{align*}$

 Contoh 4:
Tentukan persamaan bundar yang berpusat di $(3, 4)$ dan menyinggung sumbu $x$

Jawab:

Dari gambar, kita sanggup melihat bahwa jari-jari bundar yaitu $4$ dengan sentra $(3, 4)$, maka persamaan lingkarannya adalah:

$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-6x-8y+9&=0\end{align*}$

 Contoh 5:

Tentukan persamaan bundar yang berpusat di titik  $P(2, -3)$ dan menyinggung garis $3x-4y+7=0$

Jawab:
Pada soal jenis ini, sentra bundar sudah diketahui, namun jari-jari belum diketahui, untuk itu kita harus mencari dulu jari-jari bundar tersebut. Caranya, kita gunakan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:

Misal kita akan mencari jarak titik $A(x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By+C=0$, jarak titik ke garis tersebut adalah
$$r=\left|\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
jadi, jari-jari bundar tersebut sanggup kita peroleh dengan mencari jarak titik sentra ke garis singgung:

$\begin{align*}r&=\left|\frac{3(2)+(-4)(-3)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\&=\left|\frac{6+12+7}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\&=\left|\frac{25}{5}\right|\\&=5\end{align*}$

selanjutnya, substitusikan sentra $(2,-3)$ dan jari-jari $r=5$ pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$\begin{align*}(x-2)^2+(y+3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2+6y+9&=25\\x^2+y^2-4x+6y-12&=0\end{align*}$

 Menentukan Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran

---

Jika kalian sudah paham cara mencari persamaan lingkaran, kini kita akan berguru bagaimana cara memilih titik sentra dan jari-jari. Masih ingat "bentuk baku lingkaran" yang tadi telah kita pelajari? kini mari kita uraikan bentuk tersebut sehingga kita peroleh bentuk umum lingkaran:
$$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+c^2&=r^2\\x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)&=0\end{align*}$$

Bentuk di atas sanggup kita tulis:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
dengan:
$A=-2a$
$B=-2b$
$C=a^2+b^2-r^2$

Cara memilih sentra dan jari-jari lingkaran:
Pusat bundar $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$
Jarti-jari bundar $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$

 Contoh 6:

Tentukan titik sentra dan jari-jari lingkaran:
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$

Jawab:
Trik gampang memilih titik sentra yaitu cukup dengan melihat koefisien variabel $x$ dan $y$, kemudian kita bagi dengan $-2$. Pada soal di atas, koefisien variabel $x$ dan $y$ yaitu $4$ dan $-6$, jikalau kita bagi dengan $-2$ maka kita peroleh $-2$ dan $3$. itulah titik sentra bundar tersebut.

Titik Pusat : $(-2, 3)$ 

Jika titik sentra telah kita dapatkan, cara memilih jari-jari, kita tinggal substitusikan titik sentra tersebut ke formula $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$. Pada soal di atas kita tau bahwa $a=-2$, $b=3$, dan $C=-12$, maka:

$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)}\\&=\sqrt{4+9+12}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$

 Contoh 7:

Titik $(a, b)$ yaitu sentra  lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, tentukan nilai $2a+b$

Jawab:
dengan memakai cara menyerupai teladan 6, kita peroleh $a=1, b=-2$, maka $2a+b=2(1)+(-2)=0$

 Contoh 8:

Agar bundar $x^2+y^2+4x-6y+C=0$ mempunyai panjang jari-jari $5$, tentukan nilai $C$

Jawab:

dari persamaan tersebut kita peroleh sentra $(-2, 3)$, maka:

$\begin{align*}C&=a^2+b^2-r^2\\&=(-2)^2+3^2-5^2\\&=4+9-25\\&=-12\end{align*}$ 

Baiklah, sementara itu dulu yang sanggup saya share pada kesempatan kali ini. Jika belum paham, baca ulang, pelajari ulang dan pahami teladan soal dan pembahasan yang sudah saya berikan. Selanjutnya, kita akan berguru cara memilih garis singgung bundar pada posting berikutnya. 

Semoga bermanfaat.

$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 September 2017

Share this post