Cara Menuntaskan Pertidaksamaan Nilai Mutlak - Konsep Dasar, Pola Soal Dan Pembahasan

SAKRAM.net - Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak - Konsep dasar, teladan soal dan pembahasan

Sebelumnya, SAKRAM telah menyajikan klarifikasi konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak dilengkapi dengan teladan soal dan pembahasan yang merupakan bahan matematika wajib kurikulum 2013 revisi yang dipelajari di kelas 10 semester pertama (semester ganjil). Melanjutkan bahan tersebut, kali ini kita akan berguru bahan pertidaksamaan nilai mutlak.

Apa itu pertidaksamaan nilai mutlak?

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan pertidaksamaan yang variabelnya berada dalam tanda mutlak. Ada banyak cara yang sanggup kita lakukan untuk menuntaskan banyak sekali bentuk pertidaksamaan nilai mutlak diantaranya:

1. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak bentuk umum
2. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak dengan mengkuadratkan kedua ruas
3. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan grafik
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan analisis $x$ (Definisi Nilai Mutlak)

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa teladan soal dan banyak sekali cara menuntaskan pertidaksamaan nilai mutlak yang akan di bahas pada goresan pena ini.

Catatan: Jika dikala membuka laman ini terjadi "Math Processing Error" silakan reload laman. Sangat disarankan membuka laman ini melalui PC/Laptop untuk menghindari equation yang terpotong, atau jikalau memakai mobile/android silakan buka dengan mode landscape bukan portrait.

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak?

1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk Umum

untuk bentuk tertentu, pertidaksamaan nilai mutlak sanggup diselesaiakan secara umum sebagai berikut:

1. Bentuk $\left |f(x)\right| \lt p$ sanggup diubah ke bentuk $-p\lt f(x)\lt p$
2. Bentuk $\left |f(x) \right|\gt p$ sanggup diubah ke bentuk $f(x)\lt -p$ atau $f(x)\gt p$
3. Bentuk $\left | f(x) \right |\gt\left |g(x)\right|$ sanggup diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\gt 0$
4. Bentuk $\left | f(x) \right |\lt\left |g(x)\right|$ sanggup diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\lt 0$
5. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\lt k$ sanggup diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\lt 0$
6. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ sanggup diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

Perhatikan beberpa teladan berikut:

Contoh 1:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left |3x-1 \right|-2\lt 5$

Jawab:

$\begin{align*}|3x-1|-2&\lt 5\\|3x-1|&\lt 7\end{align*}$

Petidaksamaan di atas sesuai dengan bentuk $|f(x)|\lt p$ maka sanggup kita ubah ke bentuk $-p\lt f(x)\lt p$. Dengan demikian pertidaksamaan $|3x-1|\lt 7$  sanggup diubah menjdi:

$$-7\lt 3x-1\lt 7\\-7+1\lt 3x-1+1\lt  7+1\\-6\lt 3x \lt 8\\-2\lt x \lt \frac{8}{3} $$

---

Contoh 2:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$

Jawab 2 :

Bentuk pertidaksamaan di atas sesuai dengan bentuk $|f(x)|\gt p$ maka sanggup diubah ke bentuk $f(x)\lt-p$ atau $f(x)\gt p$

$$|3x-2|\gt 4\\3x-2\lt -4 \space \text{atau}\space 3x-2\gt 4\\3x\lt -2 \space\text{atau}\space 3x\gt 6\\x\lt -\frac{2}{3}\space\text{atau}\space x\gt 2$$

---

Contoh 3:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $|2-x|\geq |2x-1|$

Jawab:

$|2-x|\geq|2x-1|$ memenuhi bentuk $|f(x)|\geq|g(x)|$ maka sanggup kita ubah menjadi $\left(f(x)+g(x)\right)\left(f(x)-g(x)\right)\geq 0$

$\begin{align*}\left(2-x+2x-1\right)\left(2-x-(2x-1)\right)&\geq 0\\ \left(x+1\right)\left(2-x-2x+1\right)&\geq 0\\(x+1)(-3x+3)&\geq 0 \space\text{kedua rusa kali  }(-1)\\(x+1)(3x-3)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

---

Contoh 4:

Tentukan nilai $x$  yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$

Jawab:

Pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$ memenuhi pertidaksamaan $|f(x)|\leq|g(x)|$, maka sanggup kita ubah menjadi $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\leq 0$

$\begin{align*}|2x-3|&\leq|x+4|\\(2x-3+x+4)(2x-3-(x+4))&\leq 0\\(3x+1)(2x-3-x-4)&\leq 0\\(3x+1)(x-7)&\leq 0\\-\frac{1}{3}\leq x&\leq 7\end{align*}$

---

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$

Jawab:

Pertidaksaman $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$ memenuhi bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ maka sanggup diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

$\begin{align*}\left(2x-1+3(x+5)\right)\left(2x-1-3(x+5)\right)&\gt 0\\ \left(2x-1+3x+15\right)\left(2x-1-3x-15\right)&\gt 0\\(5x+14)(-x-16)&\gt 0\space\text{kali dengan }(-1)\\(5x+14)(x+16)&\lt 0\\-16\lt x &\lt -\frac{14}{5}\end{align*}$

---

Contoh 6:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3+\frac{7}{x}\right|\gt 1$

Jawab:

$\begin{align*}\left|3+\frac{7}{x}\right|&\gt 1\\ \left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\end{align*}$

Pertidaksamaan $\left| \frac{3x+7}{x}\right|\gt 1$ memenuhi bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ sanggup diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$ 

$\begin{align*}\left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\\(3x+7+x)(3x+7-x)&\gt 0\\(4x+7)(2x+7)&\gt 0\\x\lt -\frac{7}{2}\space\text{atau}\space x\gt -\frac{7}{4}\end{align*}$

---

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Dengan Mengkuadratkan Kedua Ruas

Menyelesaikan pertidaksamaan nillai mutlak dengan cara mengkuadratkan kedua ruas hanya boleh dilakuakan jikalau kedua ruas bernilai positif. Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 7: (soal sama dengan teladan 2)

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$ yaitu ....

Jawab:

Karena ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan bernilai positif, maka sanggup kita selesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|3x-2|\right)^2&\gt 4^2\\9x^2-12x+4&\gt 16\\9x^2-12x-12&\gt 0\space \text{bagi dengan 3}\\3x^2-4x-4&\gt 0\\(3x+2)(x-2)&\gt 0\\x\lt -\frac{2}{3}\space \text{atau}\space x&\gt 2\end{align*}$ 

---

Contoh 8: (soal sama dengan teladan 3)

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $|2-x|\geq |2x-1|$

Jawab:

Karena kedua ruas bernilai positif, maka sanggup kita selesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|2-x|\right)^2&\geq\left(|2x-1|\right)^2\\4-4x+x^2&\geq 4x^2-4x+1\\-3x^2+3&\geq 0\space\text{kedua ruas bagi }(-3)\\x^2-1&\leq 0\\()(x+1)(x-1)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

---

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Grafik

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan metode grafik cara menggunakannya yaitu dengan memisalkan pertidaksamaan ruas kiri dan ruas kanan sebagai fungsi yang berbeda. Misal ruas kiri sebagai $y_1$ dan ruas kanan sebagai $y_2$. Jika tanda pertidaksamaan $\gt$ atau $\geq$ maka jawabannya yaitu himpunan $y_1$ yang terletak  di atas $y_2$. Begitu pula sebaliknya, jikalau tanda pertidaksamaan $\lt$ atau $\leq$ maka penyelesiannya $y_1$ yang terletak di bawah $y_2$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan di bawah ini.

Contoh 9:

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|x-2|\gt $3 yaitu ....

Jawab:

misal $y_1=|x-2|$ dan $y_2=3$

Selanjutnya, kita buat grafik kedua fungsi

warna biru merupakan grafik fungsi $y_1=|x-2|$ dan warna merah merupakan grafik fungsi $y_2=3$.
Kedua grafik fungsi berpotongan di $x=-1$ dan $x=5$, untuk pertidaksamaan $|x-2|\gt 3$, maka lihat pada grafik dimana  warna biru terletak di atas warna merah. Maka penyelesaiaannya yaitu $x\lt -1$ atau $x\gt 5$

4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Analisi Nilai $x$ (Sifat Nilai Mutlak)

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara melaksanakan analisis nilai $x$ dan kemudian memperhatikan definisi nilai mutlak merupakan cara yang paling "aman" dilakukan, selain itu cara ini juga berlaku untuk banyak sekali bentuk pertidaksamaan nilai mutlak.

Langkah-langkah menuntaskan pertidaksamaan nilai mutlak dengan analisis nilai $x$ yaitu sebagi berikut:

untuk bentuk tertentu, pertidaksamaan nilai mutlak sanggup diselesaiakan secara umum sebagai berikut:

1. Tentukan pembuat nol nilai mutlak kemudian jadikan nilai pembuat nol tersebut sebagi batas interval.
2. Tentukan bentuk sederhana setiap nilai mutlak pada interval nilai $x$ yang sudah ditentukan dan cari irisan penyelesaian nilai mutlak. Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian pada interval tersebut
3. Penyelesaian pertidaksamaan yaitu gabungan penyelesaian setiap interval

perhatikan beberpa teladan berikut:

Contoh 10: (SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 139)

Banyak bilangan bundar nyata $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x-|2-x|}{x^2-3x-10}\leq 0$ yaitu ....

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

Jawab:

Pembuat nol pertidaksamaan:

$2-x=0 \Leftrightarrow  x=2$

maka interval yang kita peroleh yaitu $x\leq 2$ dan $x\geq 2$

Untuk $x\leq 2$

untuk $x\leq 2$ maka $|2-x|=2-x$, sehingga pertidaksamaan diperoleh:

$\begin{align*}\frac{x-(2-x)}{x^2-3x-10}&\leq 0 \\ \frac{2x-2}{(x-5)(x+2)}&\leq 0\end{align*}$

Titik kritis: $x=-2$, $x=1$, $x=5$

nilai $x$ yang memenuhi pada interval $x\leq 2$ yaitu $x\lt -2$ atau $1\leq x\leq 2$, maka bilangan bundar yang memenuhi penyelesaian tersebut yaitu 1 dan 2

Untuk $x\geq 2$

Untuk $x\geq 2$ maka $|2-x|=-(2-x)=x-2$ sehingga pertidaksamaan diperoleh:

$\begin{align*}\frac{x-(x-2)}{x^2-3x-10}&\leq 0\\ \frac{2}{(x-5)(x+2)}&\leq 0\end{align*}$

Titik kritis: $x=-2$ dan $x=5$

nilai $x$ yang memenuhi pada interval $x\geq 2$ yaitu $2\leq x \lt 5$, maka bilangan bundar yang memenuhi penyelesaian tersebut yaitu 2, 3, 4

Dengan demikian, nilai bundar yang memenuhi interval $x\leq 2$ dan $x\geq 2$ yaitu 1, 2, 3, 4 ada sebanyak 4 buah bilangan bulat, maka tanggapan yang sempurna yaitu C

Demikianlah beberapa cara menuntaskan pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga sanggup membantu

Share this post