Turunan Fungsi Trigonometri

Sebelumnya, SAKRAM telah membahas konsep dasar turunan fungsi aljabar yang merupakan salah satu bahan yang dipelajari pada matematika wajib kelas XI.  Pada kesempatan ini kita akan berguru turunan fungsi trigonometri yang dipelajari di kelas XII pada matematika peminatan.

Rumus Dasar

---

Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri

  1). $y=\sin{x}\rightarrow y'=\cos{x}$

  2). $y=\cos{x}\rightarrow y'=-\sin{x}$

  3). $y=\tan{x}\rightarrow y'=\sec^2{x}$

  4). $y=\cot{x}\rightarrow y'=-\csc^2{x}$

  5). $y=\sec{x}\rightarrow y'=\sec{x}\tan{x}$

  6). $y=\csc{x}\rightarrow y'=-\csc{x}\cot{x}$

Perhatikan rumus-rumus di atas. Untuk mempermudah anda mengingat, setiap fungsi trigonometri yang diawali dengan abjad c turunannya bernilai negatif.

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari $y=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}$.

Jawab:

Ingat kembali hukum penjumlahan dan pengurangan pada turunan fungsi aljabar yang telah kita pelajari  bahwa jikalau $y=u\pm v$ maka $y'=u'\pm v'$

$\begin{align*}y&=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}\\y'&=8x+3\cos{x}-(-\sin{x})\\&=8x+3\cos{x}+\sin{x}\end{align*}$

Selain rumus dasar di atas, perhatikan dan pahami juga rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks sebagai berikut.

  

   Misal sudut dalam fungsi trigonometri yaitu $u$, dengan $u$ suatu fungsi, maka:

  1). $y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$

  2). $y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$

  3). $y=\tan{u}\rightarrow y'=u'.\sec^2{u}$

  4). $y=\cot{u}\rightarrow y'=-u'.\csc^2{u}$

  5). $y=\sec{u}\rightarrow y'=u'.\sec{u}\tan{u}$

  6). $y=\csc{u}\rightarrow y'=-u'.\csc{u}\cot{u}$

Perhatikan dan pahami rumus di atas. Sebenarnya jikalau anda sudah memahami rumus dasar maka rumus pengembangan di atas sangat gampang untuk anda ingat. Yang perlu anda lakukan yaitu mengalikan turunan fungsi trigonometri dengan turunan sudutnya (sudut berupa fungsi).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa tumpuan di bawah ini:

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin{6x}$

Jawab:

Misal $6x=u$ maka $u'=6$

$y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$

$y=\sin{6x}\rightarrow y'=6\cos{6x}$

---

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y=\cos{(2x^2-6x+1)}$

Jawab:

Misal $2x^2-6x+1=u$ maka $u'=4x-6$

$y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$

$y=\cos{(2x^2-6x+1)}$ 
$ y'=-(4x-6)\sin{(2x^2-6x+1)}$

---

Contoh 4

Tentukan turunan pertama dari $y=5\tan{(4x-2018)}$

Jawab:

Misal $4x-2018=u$ maka $u'=4$

$\begin{align*}y&=5\tan{(4x-2018)}\\y'&=5(4)\sec^2{(4x-2018)}\\&=20\sec^2{(4x-2018)}\end{align*}$

---

Contoh 5

Tentukan turunan pertama dari $y=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}\\y'&=5(3)\cos{(3x+1)}-(-\frac{1}{2}(4)\sin{(4x+3)})\\&=15\cos{(3x+1)}+2\sin{(4x+3)}\end{align*}$

---

Contoh 6

Jika $f(x)=\cos{2x}-3\sin{2x}$, maka tentukanlah nilai dari $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Jawab:

$\begin{align*}f(x)&=\cos{2x}-3\sin{2x}\\f'(x)&=-2\sin{2x}-3(2)\cos{2x}\\&=-2\sin{2x}-6\cos{2x}\\f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-2\sin{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}-6\cos{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\&=-2\sin{\pi}-6\cos{\pi}\\&=-2(0)-6(-1)\\&=0+6\\&=6\end{align*}$

Turunan Bentuk $y=u.v$

---

Pada pembahasan limit fungsi aljabar kita sudah mengetahui bahwa turunan atau diferensial dari bentuk $y=u.v$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi yaitu $y'=u'v+uv'$. Aturan tersebut berlaku juga untuk turunan fungsi trigonometri.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa tumpuan berikut:

Contoh 7

Tentukan turunan pertama fungsi $y=x^2\sin{3x}$


Jawab

Kita buat pemisalan

$u=x^2\rightarrow u'=2x$

$v=\sin{3x}\rightarrow v'=3\cos{3x}$

$\begin{align*}y'&=u'v+uv'\\&=(2x)(\sin{3x})+(x^2)(3\cos{3x})\\&=2x\sin{3x}+3x^2\cos{3x}\end{align*}$

Turunan Bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$

---

Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar, untuk memilih turunan fungsi trigonometri bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ kita gunakan formula berikut:

$\displaystyle y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

untuk lebih jelasnya perhatikan tumpuan berikut:

Contoh 8

Jika $\displaystyle y=\frac{1+\cos{x}}{-\sin{x}}$, maka $\displaystyle\frac{dy}{dx}=$ ....

Jawab

Kita buat pemisalan
$u=1+\cos{x}\rightarrow u'=-\sin{x}$
$v=-\sin{x}\rightarrow v'=-\cos{x}$

$\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\frac{(-\sin{x})(-\sin{x})-(1+\cos{x})(-\cos{x})}{(-\sin{x})^2}\\&=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}}{\sin^2{x}}\\&=\frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}\end{align*}$


Aturan Rantai

---

Jika fungsi trigonometri yang akan kita turunkan berbentuk $y=\sin^n{u}$ atau $y=\cos^n{u}$ atau $y=\tan^n{u}$ maka untuk menyelesaikannya kita gunakan hukum rantai (chain rule) sebagai berikut:

$\displaystyle y=f[g(x)]\rightarrow y'=f'[g(x)].g'(x)$

Selanjutnya kita akan memilih formula untuk memilih turunan dari $y=\sin^n{u}$, $y=\cos^n{u}$ dan $y=\tan^n{u}$ dengan memakai hukum rantai berikut ini.

$\begin{align*}y&=\sin^n{u}\\y'&=n.\sin^{n-1}{u}.\cos{u}.u'\\&=n.u'.\sin^{n-1}.\cos{u}\end{align*}$

$\begin{align*}y&=\cos^n{u}\\y'&=n.\cos^{n-1}{u}.(-\sin{u}).u'\\&=-n.u'.\cos^{n-1}{u}.\sin{u}\end{align*}$

$\begin{align*}y&-=\tan^n{u}\\y'&=n.\tan^{n-1}{u}.\sec^2{u}.u'\\&=n.u'.\tan^{n-1}.\sec^2{u}\end{align*}$

untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa tumpuan berikut

Contoh 9

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin^5{(2x+1)}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=\sin^5{(2x+1)}\\y'&=5\sin^4{(2x+1)}.\cos{(2x+1)}.2\\&=10\sin^4{(2x+1)}\cos{(2x+1)}\end{align*}$

---

Contoh 10

Tentukan turunan pertama fungsi $y=2\cos^3{(1-2x)}$

 Jawab:

$\begin{align*}y&=2\cos^3{(1-2x)}\\y'&=3.2\cos^2{(1-2x)}.(-\sin{(1-2x)}).(-2)\\&=12\cos^2{(1-2x)}.\sin{(1-2x)}\end{align*}$

Demikianlah pembahasan konsep matematika turunan fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.

Share this post