Menentukan Nilai Eksak Fungsi Trigonometri Sudut $15^\Circ$ Dan $75^\Circ$ Tanpa Rumus (Secara Geometri)
Thursday, January 4, 2018
Add Comment
Gambar dari Pak Sulaeman (http://menulislatex.blogspot.com)
Pada goresan pena sebelumnya aku sudah membahas bagaimana cara memilih nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ memakai rumus jumlah dan selisih sudut serta rumus setengah sudut, nah kali ini aku share alternatif lain, ialah memilih nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ secara geometri, bahan prasyarat yang wajib dikuasai cuma teorema phytagoras dan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Cara ini relatif mudah, silahkan disimak dan dipahami 😀
Langkah pertama, buat sebuah segitiga siku-siku dengan ukuran sudut-sudut nya $60^\circ$, $30^\circ$, dan $90^\circ$ (seperti pada gambar di bawah ini)
Lho, panjang sisi-sisi segitiga tersebut sanggup dari mana? :) begini penjelasannya:
Misal, panjang sisi $BC=1$ satuan panjang, dengan meggunakan nilai trigonometri sudut $60^\circ$ atau $30^\circ$ maka panjang $AB$ dan $AC$ sanggup kita peroleh:
$\begin{align*}\sin{30^\circ}&=\frac{BC}{AC}\\\frac{1}{2}&=\frac{1}{AC}\\AC&=2\end{align*}$
$AB=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
Langkah kedua, buatlah sebuah titik pada perpanjangan $AB$ (misal titik $D$) sedemikian rupa sehingga ketika titik tersebut dihubungkan dengan titik $A$ dan $C$ maka $\angle CDA = \angle ACD =15^\circ$, untuk lebih terperinci perhatikan gambar berikut:
Perhatikan segitiga $DAC$, $\angle CDA=\angle ACD$, dengan demikian segitiga $DAC$ merupakan segitiga sama kaki, maka panjang sisi $DA=AC=2$.
$DB=DA+AB=2+\sqrt{3}$
$\begin{align*}DC&=\sqrt{DB^2+BC^2}\\&=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+1^2}\\&=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\\&=\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{align*}$
Nah kini untuk mencari nilai eksak fungsi trigonometri $15^\circ$ dan $75^\circ$ kita akan memakai segitiga di atas:
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\frac{BC}{CD}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\frac{BD}{CD}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\frac{BC}{BD}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
$\begin{align*}\csc{15^\circ}&=\frac{CD}{BC}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\sec{15^\circ}&=\frac{CD}{DB}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\cot{15^\circ}&=\frac{BD}{BC}\\&=2+\sqrt{3}\end{align*}$
$\begin{align*}\sin{75^\circ}&=\frac{BD}{CD}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\frac{BC}{CD}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
$\begin{align*}\tan{75^\circ}&=\frac{BD}{BC}\\&=2+\sqrt{3}\end{align*}$
$\begin{align*}\csc{75^\circ}&=\frac{CD}{DB}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\sec{75^\circ}&=\frac{CD}{BC}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*}\cot{75^\circ}&=\frac{BC}{BD}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Praktis kan? 😁
Jika ada kekeliruan atau salah ketik mohon koreksi ya... isi komentar
Baca Juga: Rangkuman Rumus Trigonometri Lengkap
$\blacksquare$ Denih Handayani, 12 Agustus 2017
0 Response to "Menentukan Nilai Eksak Fungsi Trigonometri Sudut $15^\Circ$ Dan $75^\Circ$ Tanpa Rumus (Secara Geometri)"
Post a Comment
Blog ini merupakan Blog Dofollow, karena beberapa alasan tertentu, sobat bisa mencari backlink di blog ini dengan syarat :
1. Tidak mengandung SARA
2. Komentar SPAM dan JUNK akan dihapus
3. Tidak diperbolehkan menyertakan link aktif
4. Berkomentar dengan format (Name/URL)
NB: Jika ingin menuliskan kode pada komentar harap gunakan Tool untuk mengkonversi kode tersebut agar kode bisa muncul dan jelas atau gunakan tool dibawah "Konversi Kode di Sini!".
Klik subscribe by email agar Anda segera tahu balasan komentar Anda