Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Sampai Dan Tak Tentu [Masalah Pembagian Dengan 0]

Dalam matematika berbagai istilah yang perlu kita pahami. Salah satu persoalan yang muncul, dikala kita menemukan kasus pembagian suatu bilangan dengan nol, ibarat beberapa pertanyaan berikut yang mungkin anda sendiri pernah mempertanyakannya, "Apakah  hasil dari $\frac{1}{0}$ ialah tak terdefinisi atau tak hingga?",  "Bagaimana dengan $\frac{0}{0}$?", "Berapa nilai dari $tan{\frac{\pi}{2}}$ ?", "Apakah $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\infty$?" dan banyak pertanyaan lain terkait pembagian nol.

Baiklah, mari kita bahas beberapa istilah berikut yaitu Tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu

Tak Terdefinisi (Undefined)

---

Sesuai namanya "tak terdefinisi" ialah sesuatu yang tidak sanggup kita definisikan. Dalam matematika, banyak hal yang tidak terdefinisi (undefined) beberapa teladan diantaranya misalnya dalam geometri, kita sering mendengar dengan istilah "titik", namun tidak ada definisi yang menjelaskan apa itu titik. Contoh lain di luar geometri contohnya suatu fungsi $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ tidak terdefinisi untuk $x$ negatif dengan $x$ anggota bilangan real dan $f(x)\in$ Real.

Dalam aritmetika, dikala kita membagi suatu bilangan dengan nol, maka risikonya ialah tidak terdefinisi (bukanlah tak hingga). Perhatikan ilustrasi berikut:

Kita tahu bahwa pembagian ialah invers (balikan) dari perkalian, misal $\displaystyle\frac{a}{b}=c$ maka sanggup kita nyatakan $\displaystyle c\times b=a$.

Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ sanggup kita nyatakan $6 \times 3=18$

Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh lantaran itu, berapapun bilangannnya (selain nol) kalau dibagi dengan 0, maka tidak sanggup didefinisikan (tak terdefinisi).

Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini

Tak Hingga (Infinity)

---

Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk menawarkan suatu nilai yang amat sangat besar (positif tak hingga) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).

Tak sampai disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.

Dalam kalkulus, tak sampai $(\displaystyle\infty)$ sanggup kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa hukum sebagai berikut:

1. $\displaystyle a+\infty=\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
2. $\displaystyle a-\infty=-\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
3. $\displaystyle a\times\infty=\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
4. $\displaystyle a\times(-\infty)=-\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
5. $\displaystyle a\times \infty=-\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
6. $\displaystyle a\times (-\infty)=\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
7. $\displaystyle 0+\infty=\infty$
8. $\displaystyle 0-\infty=-\infty$
9. $\displaystyle\frac{\infty}{a}=\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne\infty$
10. $\displaystyle\frac{-\infty}{a}=-\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne \infty$
11. $\displaystyle\frac{a}{\infty}=0$

Sebagai perhiasan literatur, silakan baca ini .

Bentuk Tak Tentu (Indeterminate Form)

---

Sama halnya ibarat tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu teladan bentuk tak tentu ialah pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang mengira bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ ialah 1, lantaran pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, lantaran itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak mempunyai solusi tunggal

Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:

1. $\displaystyle\frac{0}{0}$
2. $\displaystyle\infty-\infty$
3. $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
4. $\displaystyle 0\times \infty$
5. $\displaystyle 0^0$
6. $\displaystyle \infty^0$
7. $\displaystyle 1^\infty$

Beberapa Masalah Terkait 

---

Berikut ini beberapa persoalan yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak sampai dan tak tentu

1. Dalam Trigonometri

Saya eksklusif sering bertanya pada anak latih "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?

Nilai dari $\tan{90^\circ}$ ialah tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:

Dari grafik $y=\tan{x}$ di atas, sanggup kita lihat bahwa kurva sama sekali tidak pernah menyentuh $x=\frac{\pi}{2}$, jadi tampak terang bahwa nilai dari $\tan{90^\circ}$ tak terdefinisi. Bahkan secara umum sanggup dikatakan sebagai berikut:

Dalam Trigonometri, $\tan{\theta}$, $\sec{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\times 180^\circ$, dan $\cot{\theta}$ dan juga $\csc{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=n\times 180^\circ$

2. Dalam Masalah Limit

Bagaimana kalau saya bertanya berapakah nilai dari $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$?

Jika tanggapan anda ialah $\infty$ atau "tak hingga", maka tanggapan anda belum tepat.

Nilai suatu limit fungsi ada atau terdefinisi kalau limit kiri nilainya sama dengan limit kanan.

Untuk kasus soal di atas, limit kiri fungsi tersebut ialah negatif tak hingga, sanggup kita tulis:

$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}=-\infty$$

Sementara limit kanan fungsi tersebut ialah positif tak hingga, sanggup kita tulis:
$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ ialah tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$

untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:

Bisa kita lihat nilai untuk $x=1$ pendekatan dari kiri dan kanan tidaklah sama.

Jadi, tidak semua limit sanggup kita cari nilainya, kita harus memastikan apakah limit tersebut terdefinisi atau tidak.

Demikianlah persoalan terkait istilah tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu.

Artikel ini hanya ditulis oleh penulis yang sangat minim ilmu, jadi sebaiknya jangan jadikan goresan pena ini sebagai acuan utama, silakan anda cari acuan lain yang lebih terpercaya.

Semoga bermanfaat

Share this post